PowerWiki: Math6

At line 1 changed 1 line.

[{ColorTitle

[{ALLOW view All}]

[{ALLOW edit,upload Trusted}]

[{ColorTitle bgcolor='#F6931B'

At line 7 added 3 lines.

%%(text-align: right)

[Předchozí|Math5] [Další|Math7] [Obsah|Math]%%

At line 15 added 99 lines.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_1.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_2.gif]

A je určen k řešení polynomiálních rovnic. Při transcendentních rovnicích řešení nalezeno není:

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_3.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_4.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_5.gif]

V tuto chvíli je na místě otázka rozdílu mezi příkazy __FindRoot__ a __NSolve__. Pokud je problém polynomiální, příkaz NSolve najde všechna komplexní řešení, navíc nemusím omezit obor hodnot proměnné, kterou hledám.

Pokud se v rovnici argumentu příkazu FindRoot nevyskytuje formálně komplexní číslo /Mathematica považuje číslo 1 za reálné a číslo 1+0*I za číslo komplexní/, obdržím 1 reálný kořen.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_6.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_7.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_8.gif]

Příkaz __LinearSolve__[[matice,vektor pravých stran] řeší maticovou rovnici matice*x=vektor pravých stran

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_9.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_10.gif]

Úloha pro zvídavého čtenáře: Čím je tato soustava zvláštní? Má takto konstruovaná soustava vždy celočíselné řešení?

Zároveň jsme se naučili syntaxi jednoho způsobu zadávání matic.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_11.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_12.gif]

Vidíme, že řešení je v symbolickém tvaru.

Příkaz __MainSolve[[...]__ slouží k sofistikovanějším operacím se soustavami lineárních rovnic /eliminace vybraných proměnných, transformace do jiných proměnných a podobně.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_13.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_14.gif]

Čili ze soustavy rovnic chceme vyjádřit vztah mezi proměnnými x,y,a, proměnná z se ve výsledku nemá vyskytovat. Takto kladený požadavek není vždy splnitelný, v tom případě se stává příkaz __MainSolve[[..]__ funkcí typu boolean s hodnotou False.

Podívejme se dále na příkaz __DSolve__. Jsme již zkušenější a nepotřebujeme příklad. Umíme používat nápovědu...čili:

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_15.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_16.gif]

Tak to zkusíme, ne? Ale jak zapsat derivaci...jasně, derivace je anglicky derivative. Jestli tenhle přikaz v M. existuje, bude začínat velkým písmenem; to už víme.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_17.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_18.gif]

Takže vidíme, že pro začátek vystačíme s čárkou. Což takhle elektrický obvod:

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_19.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_20.gif]

A vida! Máme obecné řešení. Kdybychom chtěli, aby i[[0]==i0 ...už umíme, aby M. pracovala s více objekty, jako s jedním: použijeme složené závorky!

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_21.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_22.gif]

A vidíme, nebolelo to.

O poslední při příkazy zůstanete ochuzeni; poslední je systémový a podle mého názoru neužitečný... koneckonců umíte používat help, ne?

Zastavme se ještě u příkazu NDSolve. Už víme, nebo tušíme, že to bude příkaz k řešení /Solve/ diferenciálních /D/ rovnic a toto řešení bude numerické /N/.

/Analyticky řešitelných diferenciálních rovnic je nejvýše alef jedna, celkem je diferenciálních -rozuměj obyčejných diferenciálních rovnic konečného řádu- alef dva. Tedy téměř žádné diferenciální rovnice nejsou analyticky řešitelné; příkaz NDSolve nám pomůže se řešení přiblížit./

__WARNING:__ Jde o __numeriku__; řešení samo existovat nemusí /podaří-li se vám zadat pravou stranu jako nespojitou funkci ve více než konečném počtu bodů/, nemusí být jediné /nesplníte-li Lipschitzovu podmínku/; přesto vám numerické metody nějaké řešení obvykle nabídnou. S řešením dané rovnice toto řešení nemusí mít nic společného. Mathematica je inteligentní systém; potřebu inteligence uživatele však eliminovat neumí.

Takže pro začátek zkusíme rovnici u níž řešení známe. A zároveň si napíšeme "prográmek" v Mathematice.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_23.gif]

__rovnice__ je samotná diferenciální rovnice, __podminka__ je její okrajová podmínka.

Protože budeme chtít výsledek vytisknout přes celý obor řešení, tento obor si zadefinujeme.

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_24.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_25.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_26.gif]

Příkaz NDSolve vytvoří interpolační funkci; ta má strukturu datovou a nelze s ní jednoduše pracovat. Proto příkazem

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_27.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_28.gif]

vytvoříme "tisknutelnou" funkci. Příkaz __Evaluate[[oborreseni]__

způsobí, že příkaz __Plot__ dosadí za objekt __oborreseni__ hodnotu {x,0,5}.

Pokud je vám tento prográmek jasný, je vše v pořádku. Pokud ne, zkuste si projít a provést jednotlivé příkazy postupně, bez středníků, abyste viděli výsledky. pokud chcete "vidět" proměnnou definovanou pomocí __SetDelayed__, jednoduše si ji necháte zobrazit vypsáním jejího označení na další řádek a vyhodnocením onoho řádku:

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_29.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_30.gif]\\

[{nbsp count='5'}][Math6/index_gr_31.gif]

Takto později budete tvořit programy: nejprve řádek po řádku s vypisováním výsledků, poté rušení jinak zbytečných výpisů a sdružování příkazů do větších celků.

[6.notebook|Math6/zacmath6.nb]