Mathematica® v el.tep. technice ... díl 1. |
Základem je Fourier Kirchhoffova rovnice
Pro stacionární případy obdržíme v 1D rovnici pro l závislé na teplotě a souřadnici.
Ukážeme si nějaké základní případy. Začněme nejjednodušším: stěna tloušťky d má tepelnou vodivost l=konst , v x=0 má teplotu T0 a teče jí tepelný tok q [W/(m^2 K)]. Ve stěně teplo nevzniká. Naše rovnice má tvar
Cauchyho úloha má v tomto případě fyzikální smysl následující:
Řešení obdržíme snadno a rychle:
A vidíme lineární závislost teploty na souřadnici. Například pro cihlovou zeď ....
Schválně jsme napsali "Cauchyho úloha" a nikoli "okrajová podmínka". F.-K. rovnice je parciální diferenciální rovnice, okrajová podmínka znamená znalost řešení na hranici nějaké oblasti, při redukci na 1D problém je touto oblastí intarval a jeho hranicí dva jeho krajní body. Ovšem pro obyčejné diferenciální rovnice je třeba znát v jednom bodě hodnotu řešení a jeho derivaci a nikoli hodnotu řešení ve dvou různých bodech. V některých případech to nevadí:
ndy to vadit bude. Každopádně jde o zajímavý vztah mezi PDR a ODR. Pojďme dále; často se uvádí rovnice uvažující přecházení tepla např. z vodiče do okolí konvekcí; pro plošnou hustotu výkonu platí q=a*(T[x]-Tokoli), dále se uvažuje
q*obvod*dx=Qv*průřez*dx; odtud snadno Qv= ; označme obvod=o, průřez=S
Na první pohled možná vypadá tento průběh podivně, ale když se nad tím zamyslíte, jak prostupuje teplo vedením třeba drátem a konvekcí do okolí /význam použitých symbolů je doufám jasný/, vidíme, že je to správně. Postupujme dále a vyšetřeme případy s proměnnými látkovými vlastnostmi, zde především tepelnou vodivostí. Styk dvou látek můžeme simulovat rychle probíhajícím spojitým přechodem.
Řešení bylo provedeno numericky, jednoduše proto, že výhody analytických řešení již výhodami nejsou-pokud nalezneme řešení v uzavřeném tvaru, je tak komplikované, že z něj "nic nevidíme." Všimněte si také, že jsme opět řešili Cauchyho úlohu a nikoli úlohu okrajovou. Numerické metody řešení okrajových úloh jsou mnohem méně propracované než pro řešení Cauchyho úlohy. Zde se zmíním jen o tzv. metodě střelby.
V podstatě řešíme Cauchyho úlohy pro soubor hodnot první derivace na levé hranici; z řešení vybereme to, které má požadovaniou hodnotu na pravé hranici.Při vedení tepla entropie systému stoupá a tento proces je stabilní pro "skoro všechny" materiály. Zobrazení z hodnot derivace (tedy tepelného toku) do teploty na druhé straně zdi je jednoznačné a proto je metoda střelby snadno algoritmizovatelná.
image15.gif | 1186 bytes | |
index_gr_1.gif | 1039 bytes | |
index_gr_10.gif | 169 bytes | |
index_gr_11.gif | 661 bytes | |
index_gr_12.gif | 277 bytes | |
index_gr_13.gif | 676 bytes | |
index_gr_14.gif | 1013 bytes | |
index_gr_16.gif | 662 bytes | |
index_gr_17.gif | 427 bytes | |
index_gr_19.gif | 2173 bytes | |
index_gr_2.gif | 682 bytes | |
index_gr_20.gif | 2307 bytes | |
index_gr_21.gif | 1392 bytes | |
index_gr_22.gif | 1007 bytes | |
index_gr_23.gif | 166 bytes | |
index_gr_24.gif | 2046 bytes | |
index_gr_25.gif | 1322 bytes | |
index_gr_26.gif | 166 bytes | |
index_gr_27.gif | 351 bytes | |
index_gr_28.gif | 887 bytes | |
index_gr_29.gif | 1443 bytes | |
index_gr_3.gif | 786 bytes | |
index_gr_30.gif | 1025 bytes | |
index_gr_31.gif | 166 bytes | |
index_gr_32.gif | 2242 bytes | |
index_gr_33.gif | 3402 bytes | |
index_gr_4.gif | 855 bytes | |
index_gr_6.gif | 309 bytes | |
index_gr_7.gif | 149 bytes | |
index_gr_8.gif | 849 bytes | |
index_gr_9.gif | 157 bytes | |
prvniet.nb | 136868 bytes |