vyr = 
        Cos[φ]*(-((((z - Z))^3)/(6*
                        Sin[φ]))*((Pi/2) - 
                    ArcTan[(((((z - Z))^2)*Cos[φ] + r*R*Sin[φ]^2)/((z - Z)*Sin[φ]*(Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)])))]) + ((((r^2)*Sin[φ]^2)/6) - ((((z - Z))^2)/2))*r*
                Log[R - 
                    r*Cos[φ] + (Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)])] + ((((R^2)*Sin[φ]^2)/6) - ((((z - Z))^2)/2))*R*
                Log[r - 
                    R*Cos[φ] + (Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)])] + (((z - Z)*Sin[φ]*(r^2))/2)*
                ArcTan[(((z - Z)*(R - r*Cos[φ]))/(r*Sin[φ]*(Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)])))] + (((z - Z)*Sin[φ]*(R^2))/2)*
                ArcTan[(((z - Z)*(r - R*Cos[φ]))/(R*Sin[φ]*(Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)])))] - ((r*(R - r*Cos[φ]) + R*(r - R*Cos[φ]))/6)*(z - Z)*Log[z - 
                    Z + (Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)])] + ((r*(R - r*Cos[φ]) + R*(r - R*Cos[φ]))/6)*(Sqrt[(r^2) + (R^2) - 2  r*R*Cos[φ] + (((z - Z))^2)]));
simpvyr = Simplify[vyr];
ClearAll[q];
q = 
        Compile[{r, R, z, Z, φ}, Evaluate[simpvyr]];

nov = 
      FullSimplify[
        vyr //. {z -> r*ξz, Z -> r*ξZ, 
            R -> r*ξR}, {r > 0}]

dd = {ξz -> 1, ξZ -> 1.2, ξR -> 
            1.4, φ -> (Pi/2)};

nov[[4, 1]] /. dd
nov[[4, 2]] /. dd
c = nov[[4, 3]] /. dd
d = nov[[4, 4]] /. dd
nov[[4, 5]] /. dd
nov[[4, 6]] /. dd
g = nov[[4, 
            7]]/.dd

Simplify[c + d + g]

nov

FullSimplify[
      Simplify[vyr[[2, 3]] + vyr[[2, 6]] + 
            vyr[[2, 7]]] //. {r -> z*ξr, Z -> z*ξZ, 
          R -> z*ξR}, {z > 0}]

pokus = 
        (1/12) (r^3) Cos[φ] (-2 (Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]]) (-2 ξR + (1 + ξ(R^2)) Cos[φ]) - (((ξz - ξZ))^3) (π - 2 ArcTan[(((((ξz - ξZ))^2) Cot[φ] + ξR Sin[φ])/((ξz - ξZ) (Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]])))]) Csc[φ] + 
              2 (ξz - ξZ) (-2 ξR + (1 + ξ(R^2)) Cos[φ]) Log[(ξz - ξZ + (Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]]))] - (-1 + 
                    6 (((ξz - ξZ))^2) + 
                    Cos[2 φ]) Log[ (ξR - 
                      Cos[φ] + (Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]]))] + 
              6 (ξz - ξZ) ArcTan[(((ξz - ξZ) (ξR - Cos[φ]) Csc[φ])/(Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]]))] Sin[φ] - 
              6 ξ(R^2) (ξz - ξZ) ArcTan[(((ξz - ξZ) (-1 + ξR Cos[φ]) Csc[φ])/(ξR (Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]])))] Sin[φ] + 
              2 ξR Log[ (1 - ξR Cos[φ] + (Sqrt[1 + ξ(R^2) + (((ξz - ξZ))^2) - 2 ξR Cos[φ]]))] (-3 (((ξz - ξZ))^2) + ξ(R^2) Sin[φ]^2));

pokus /. {ξz -> 1, ξZ -> 1.2, ξR -> 
          1.4}