Řeení ustálených 1D tepelných polí.
Základem je Fourier Kirchhoffova rovnice

ρ*(Subscript[c, p])*(D[T[r, t], t] + v . grad[T[r, t]]) == 
        div[λ*grad[T[r, t]]] + (Subscript[Q, V]) // TraditionalForm

Pro stacionární případy obdríme v 1D rovnici pro λ závislé na teplotě a souřadnici.

D[λ[T[x], x]*D[T[x], x], x] + Qv[T[x], x] == 0 // 
      TraditionalForm

Ukáeme si nějaké základní případy. Začněme nejjednoduím: stěna tlouky d má tepelnou vodivost λ=konst , v x=0 má teplotu T0 a teče jí tepelný tok q [W/((m^2) K)]. Ve stěně teplo nevzniká. Nae rovnice má tvar

rce = D[T[x], {x, 2}] == 0

Cauchyho úloha má v tomto případě fyzikální smysl následující:

poc1 = T[0] == T0
poc2 = -λ*
          Evaluate[
            D[T[x], x] /. 
              x -> 
                0]==q

Řeení obdríme snadno a rychle:

res = DSolve[{rce, poc1, poc2}, T[x], 
          x][[1]]

A vidíme lineární závislost teploty na souřadnici. Například pro cihlovou zeď....

Plot[T[x] /. res /. {T0 -> 5, λ -> 0.6, 
          q -> -10}, {x, 0, 0.45}]

Schválně jsme napsali "Cauchyho úloha" a nikoli "okrajová podmínka". F.-K. rovnice je parciální diferenciální rovnice, okrajová podmínka znamená znalost řeení na hranici nějaké oblasti, při redukci na 1D problém je touto oblastí intarval a jeho hranicí dva jeho krajní body. Ovem pro obyčejné diferenciální rovnice je třeba znát v jednom bodě hodnotu řeení a jeho derivaci a nikoli hodnotu řeení ve dvou různých bodech. V některých případech to nevadí:

DSolve[{T''[x] == 0, 
        T[0] == T0, T[d] == Td}, T[x], x]

Jindy to vadit bude. Kadopádně jde o zajímavý vztah mezi PDR a ODR. Pojďme dále; často se uvádí rovnice uvaující přecházení tepla např. z vodiče do okolí konvekcí; pro plonou hustotu výkonu platí q=α*(T[x]-Tokoli), dále se uvauje
 q*obvod*dx=Qv*průřez*dx; odtud snadno Qv=\(TraditionalForm\`\(α*\((T[x] - Tokoli)\)*obvod\)\/průřez\); označme obvod=o, průřez=S

res = Simplify[
          DSolve[{λ*T''[x] - 
                  (o/S)*α*(T[x] - To) == 0, T[0] == T0, 
              T[d] == Td}, T[x], x], {Im[o] == 0, o > 0, 
            Im[α] == 0, α > 0, Im[S] == 0, S > 0, 
            Im[λ] == 0, λ > 0, Im[d] == 0, d > 0, 
            Im[x] == 0, x > 0}][[1]]

Plot[
      Evaluate[T[x] /. res /. {T0 -> -5, λ -> 20, 
            o -> 3*(10^(-3)), 
            S -> 1*(10^(-6)), α -> 8, Td -> 100, 
            To -> 20, d -> 0.45}], {x, 0, 0.45}, 
      PlotRange -> All]

Na první pohled moná vypadá tento průběh podivně, ale kdy se nad tím zamyslíte, jak prostupuje teplo vedením třeba drátem a konvekcí do okolí /význam pouitých symbolů je doufám jasný/, vidíme, e je to správně. Postupujme dále a vyetřeme případy s proměnnými látkovými vlastnostmi, zde předevím tepelnou vodivostí. Styk dvou látek můeme simulovat rychle probíhajícím spojitým přechodem.

lambda[x_] = 
        a + (b/2) (1 + 
                Tanh[((x - 0.5)/0.05)]);
aab = Solve[{lambda[0] == 0.8, 
              lambda[1] ==  .1}][[1]];
λ = lambda[x] /. %;
\(Plot[λ, {x, 0, 1}, PlotRange -> All, 
      AxesLabel -> {"x[m]", \*""λ[(Wm^(-1))(K^(-1))]""}]\)

rce = D[λ*D[T[x], x], x] == 0

res = NDSolve[{rce, 
              T[0] == 
                5, (λ /. x -> 0)*T'[0] == 10}, 
            T[x], {x, 0, 1}][[1]];
Plot[T[x] /. res, {x, 0, 1}, 
      AxesLabel -> {"x[m]", "T[K]"}]

Řeení bylo provedeno numericky, jednodue proto, e výhody analytických řeení ji výhodami nejsou-pokud nalezneme řeení v uzavřeném tvaru, je tak komplikované, e z něj "nic nevidíme." Vimněte si také, e jsme opět řeili Cauchyho úlohu a nikoli úlohu okrajovou. Numerické metody řeení okrajových úloh jsou mnohem méně propracované ne pro řeení Cauchyho úlohy. Zde se zmíním jen o tzv. metodě střelby.

res = 
        Table[NDSolve[{rce, 
                T[0] == 
                  5, (λ /. x -> 0)*T'[0] == i}, 
              T[x], {x, 0, 1}][[1]], {i, 
            10}];
Plot[Evaluate[T[x] /. res], {x, 0, 1}, 
      PlotStyle -> Table[Hue[1 - (i/10)], {i, 10}], 
      AxesLabel -> {"x[m]", "T[K]"}]

V podstatě řeíme Cauchyho úlohy pro soubor hodnot první derivace na levé hranici; z řeení vybereme to, které má poadovaniou hodnotu na pravé hranici.Při vedení tepla entropie systému stoupá a tento proces je stabilní pro "skoro vechny" materiály. Zobrazení z hodnot derivace (tedy tepelného toku) do teploty na druhé straně zdi je jednoznačné a proto je metoda střelby snadno algoritmizovatelná.