Příprava studijního programu Informatika je podporována projektem financovaným z Evropského sociálního fondu a rozpočtu hlavního města Prahy.
Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Metoda uzlových napětí využívá zachování proudů, proudy však vyjadřujeme pomocí napětí .
Na Obr. 18 jsou zakresleny tzv. uzly 1, 2, 3 a uzel 0 označený značkou pro společný vodič. Známe-li napětí uzlů 1, 2 a 3 proti uzlu 0, tedy napětí U1, U2, U3, pak můžeme určit napětí mezi kterýmikoli dvěma uzly, například platí:
.
Ke znalosti napětí mezi kterýmikoli dvěma body stačí, abychom znali napětí bodů vůči společnému vodiči. Budeme-li napětí na prvku mezi dvěma uzly počítat z rozdílu napětí těchto uzlů proti (libovolně zvolenému) společnému uzlu, splníme vlastně automaticky rovnice plynoucí z řazení napětí (a tedy i zdrojů napětí).
S prvky, se kterými jsme se zatím z teorie obvodů seznámili, přichází v úvahu pro každý uzel situace podle Obr. 19: uvažovaný uzel může být spojen s dalšími uzly rezistorem, kondenzátorem, cívkou, zdrojem napětí a zdrojem proudu, na obrázku jsou vyznačeny také (libovolně zvolené) orientace napětí mezi uzly a shodně s orientací napětí orientace proudů (aby platily rovnice (8), (9) a (11) popisující vztahy mezi proudem a napětím na rezistoru, cívce a kondenzátoru).
Vyjádříme všechny proudy tekoucí do a nebo z uzlu 6 a uvedeme, jestli dotyčný proud vtéká nebo vytéká: abychom správně dosadili do rovnice (7).
Uzly 3 a 6:
Uzly 1 a 6:
Ke kondenzátoru ještě vždy patří počáteční podmínka s napětím:
Uzly 4 a 6:
Zde je situace nejjednodušší, daný definicí zdroje proudu:
Zatím jsme tedy získali proudy, které budeme dosazovat do rovnice (7), bylo to jednoduché, protože z rovnic pro rezistor a kondenzátor jde při známém napětí vyjádřit snadno proud pomocí dělení nebo pomocí derivace napětí a proud ze zdroje proudu je zadaný z definice zdroje proudu. V rovnici pro ideální zdroj napětí se proud nevyskytuje, nelze z ní tedy vyjádřit. Pomůžeme si tak, že tento proud pojmenujeme, čímž získáme novou neznámou. Pro další neznámou ale potřebujeme další rovnici: bude to rovnice zdroje napětí.
Uzly 5 a 6:
Nová rovnice:
Obdobně naložíme s cívkou, proud jí tekoucí označíme jako novou proměnnou a rovnici pro cívku přidáme k systému rovnic.
Uzly 2 a 6:
Nová rovnice
K cívce ještě vždy patří počáteční podmínka s proudem:
Dosaďme za proudy do bilance (7)
Rovnice popisující zachování proudu v uzlu:
Další rovnice vzniklé z důvodu nově zavedených neznámých:
Počáteční podmínky pro kondenzátory a indukčnosti:
Pro každý uzel můžeme napsat 1 rovnici popisující zachování proudu, jako jsme napsali rovnici (24). Zavádíme-li nové proměnné, ke každé okamžitě máme rovnici. Máme tedy tolik rovnic, kolik je neznámých.
Je tedy naděje, že má-li schéma dobrý smysl, můžeme nalézt neznámá napětí uzlů a hodnoty nově zavedených proměnných. Veličiny, které jsme vyloučili dosazením vlastností obvodových prvků, můžeme snadno dopočíst, například
a podobně.
Pokud zavádíme novou proměnnou a rovnici, učiníme tak když ji poprvé u některého z uzlů potřebujeme; podruhé bychom dělali totéž zbytečně znovu: to není chyba, ale je to hloupé.
Ne vždy má n rovnic o n neznámých právě jedno řešení, a to ani v případě rovnic diferenciálních. Pokud má být ale obvod použitelný v praxi, chtěli bychom právě jedno řešení a to dokonce omezené, nekonečná napětí a proudy by v praxi nefungovaly.
Pokud nedokážeme získat jedno řešení s rozumnými výsledky, buď jsme obvod popsali špatně, nebo je schéma nesmyslné, nebo se ptáme na veličinu, kterou nelze určit (například napětí mezi tzv. galvanicky zcela oddělenými obvody…)
Ukažme si to na obvodu podle Obr. 20:
Uzel 1:
Rovnice popisující zachování proudu:
Rovnice z důvodu nově zavedené proměnné:
Počáteční podmínka pro cívku:
Počáteční podmínka pro kondenzátor:
Uzel 2:
Rovnice popisující zachování proudu:
Rovnice z důvodu nově zavedené proměnné:
Počáteční podmínky:
Řešení je provedeno v notebooku CAOUzlyUkazka.nb, PDF.
Zde uvedeme postup, jak popsat obvod metodou uzlových napětí.
Pro zadané schéma provedeme tyto kroky:
Bod 5 algoritmu doplňme o zobecněné rovnice součástek. Předpokládejme, že součástka je obecně zapojena mezi uzly A a B, které mají uzlová napětí uA(t) a uB(t). Potom pro jednotlivé součástky platí následující vztahy
Pro napětí uR(t) mezi svorkami rezistoru platí podle Obr. 18: uR(t) = uA(t) - uB(t). Dosazením do rovnice (8) dostáváme:
Velikost odporu R je zadaná, uA(t), uB(t) a iR(t) jsou neznámé.
Výše popsaný postup si ukažme na příkladu z obrázku 20. Ve výsledku sice dostaneme trochu jiné rovnice nežli jsme dostali výše, ale jak zvídavý čtenář jistě snadno nahlédne, lze postupnými úpravami jednu soustavu rovnic převést na druhou.
Řešte obvod na obrázku pro tyto hodnoty součástek: R1=R2=R3=1kΩ, C=1μF a L=1mH. Obvod je napájen zdrojem proudu sinusového průběhu s amplitudou 100 mA, frekvencí 1 kHz a fázovým posunem o 45° (π/4), tedy i(t)=0,1 sin(2π*1000*t+π/4).
Řešte obvod na obrázku pro tyto hodnoty součástek: L=1mH. Obvod je napájen zdrojem proudu sinusového průběhu s amplitudou 1 A, frekvencí 1 kHz a fázovým posunem o 45° (π/4), tedy i(t)=0,1 sin(2π*1000*t+π/4).