Příprava studijního programu Informatika je podporována projektem financovaným z Evropského sociálního fondu a rozpočtu hlavního města Prahy.
Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Řešte obvod na obrázku pro tyto hodnoty součástek: R1=R2=R3=1kΩ, C=1μF a L=1mH. Obvod je napájen zdrojem proudu sinusového průběhu s amplitudou 100 mA, frekvencí 1 kHz a fázovým posunem o 45° (π/4), tedy i(t)=0,1 sin(2π*1000*t+π/4).
Uzel 1:
Uzel 2:
Uzel 3:
Uzel 4:
Kondenzátor C:
Napětí uC(t) mezi svorkami kondenzátoru je rovno rozdílu příslušných uzlových napětí u2(t) a u1(t), tedy uC(t) = u2(t) - u1(t).
Rezistor R1:
Rezistor R2:
Rezistor R3:
Cívka L:
Zdroj I:
Pro zdroj proudu nepíšeme, na rozdíl od zdroje napětí, žádnou rovnici.
Rovnice pro zdroj napětí vždycky vyjadřovala vztah mezi napětím zdroje a napětími uzlů, do kterých je zdroj připojen - pro zdroj zapojený mezi uzly A a B vždy platí, že napětí zdroje u(t) je rovno rozdílu napětí uA(t)-uB(t) (pokud napětí u(t) je orientováno z uzlu A do uzlu B). Povšimněme si, že napětí zdroje u(t) se vyskytuje právě jenom v rovnici zdroje napětí a nikde jinde. Rovnici pro zdroj napětí můžeme vynechat, pokud provedeme příslušné úpravy ostatních rovnic.
Pro zdroj proudu není potřeba žádná rovnice vůbec. Proud i(t) zdroje proudu se v systému rovnic již vyskytuje - je obsažen v rovnicích obou uzlů, do kterých je připojen zdroj proudu (zde uzly 1 a 4).
Máme celkem 3 proměnné v derivaci, napíšeme tedy:
Máme celkem 9 neznámých (u1(t), u2(t), u3(t), u4(t), iR1(t), iR2(t), iR3(t), iC(t), iL(t)) a 3 neznámé v derivaci (u1'(t), u2'(t), iL'(t)).
Máme 9 rovnic a 3 počáteční podmínky.
O.K.
V notebooku CAOUzlyPriklad5.nb (PDF) naleznete řešení tohoto příkladu pro zadané hodnoty součástek a zdroje proudu.
Rovnici pro kondenzátor je možné zjednodušit tak, že zavedeme další neznámou uC(t), což bude napětí mezi svorkami kondenzátoru, tedy uC(t) = u2(t)-u1(t). Rovnice pro kondenzátor potom bude mít tvar:
Musíme ale přidat další rovnici:
V systému počátečních podmínek naopak jedna rovnice ubyde (namísto u2(0) a u1(0) bude uC(0)):
V tomto případě nám přibyla neznámá uC(t), máme tedy celkem 10 neznámých (uC(t), u1(t), u2(t), u3(t), u4(t), iR1(t), iR2(t), iR3(t), iC(t), iL(t)), ale pouze 2 neznámé v derivaci (uC'(t), iL'(t)).
Přibyla nám rovnice pro uC(t), máme tedy 10 rovnic, ale jenom 2 počáteční podmínky.
Vše je tedy O.K.
Ať jsme použili kterýkoliv postup, nakonec jsme vždy dostali systém 12 rovnic pro 12 neznámých či jejich derivací.