Překlady této stránky:

Příklad 5

Řešte obvod na obrázku pro tyto hodnoty součástek: R1=R2=R3=1kΩ, C=1μF a L=1mH. Obvod je napájen zdrojem proudu sinusového průběhu s amplitudou 100 mA, frekvencí 1 kHz a fázovým posunem o 45° (π/4), tedy i(t)=0,1 sin(2π*1000*t+π/4).

1. Označíme uzly a očíslujeme je.

2. Označíme uzlová napětí.

3. Označíme proudy jednotlivými součástkami.

4. Napíšeme rovnice pro proudy v uzlech.

Uzel 1:

Graph

Uzel 2:

Graph

Uzel 3:

Graph

Uzel 4:

Graph

5. Napíšeme rovnice součástek.

Kondenzátor C:

Napětí uC(t) mezi svorkami kondenzátoru je rovno rozdílu příslušných uzlových napětí u2(t) a u1(t), tedy uC(t) = u2(t) - u1(t).

Graph

Rezistor R1:

Graph

Rezistor R2:

Graph

Rezistor R3:

Graph

Cívka L:

Graph

Zdroj I:

Pro zdroj proudu nepíšeme, na rozdíl od zdroje napětí, žádnou rovnici.

Rovnice pro zdroj napětí vždycky vyjadřovala vztah mezi napětím zdroje a napětími uzlů, do kterých je zdroj připojen - pro zdroj zapojený mezi uzly A a B vždy platí, že napětí zdroje u(t) je rovno rozdílu napětí uA(t)-uB(t) (pokud napětí u(t) je orientováno z uzlu A do uzlu B). Povšimněme si, že napětí zdroje u(t) se vyskytuje právě jenom v rovnici zdroje napětí a nikde jinde. Rovnici pro zdroj napětí můžeme vynechat, pokud provedeme příslušné úpravy ostatních rovnic.

Pro zdroj proudu není potřeba žádná rovnice vůbec. Proud i(t) zdroje proudu se v systému rovnic již vyskytuje - je obsažen v rovnicích obou uzlů, do kterých je připojen zdroj proudu (zde uzly 1 a 4).

6. Napíšeme počáteční podmínky pro neznámé, které se vyskytují v derivaci.

Máme celkem 3 proměnné v derivaci, napíšeme tedy:

Graph

Graph

Graph

7. Provedeme kontrolu.

Máme celkem 9 neznámých (u1(t), u2(t), u3(t), u4(t), iR1(t), iR2(t), iR3(t), iC(t), iL(t)) a 3 neznámé v derivaci (u1'(t), u2'(t), iL'(t)).

Máme 9 rovnic a 3 počáteční podmínky.

O.K.

Notebook s řešením

V notebooku CAOUzlyPriklad5.nb (PDF) naleznete řešení tohoto příkladu pro zadané hodnoty součástek a zdroje proudu.

Alternativní popis

Rovnici pro kondenzátor je možné zjednodušit tak, že zavedeme další neznámou uC(t), což bude napětí mezi svorkami kondenzátoru, tedy uC(t) = u2(t)-u1(t). Rovnice pro kondenzátor potom bude mít tvar:

Graph

Musíme ale přidat další rovnici:

Graph

V systému počátečních podmínek naopak jedna rovnice ubyde (namísto u2(0) a u1(0) bude uC(0)):

Graph

Graph

Kontrola

V tomto případě nám přibyla neznámá uC(t), máme tedy celkem 10 neznámých (uC(t), u1(t), u2(t), u3(t), u4(t), iR1(t), iR2(t), iR3(t), iC(t), iL(t)), ale pouze 2 neznámé v derivaci (uC'(t), iL'(t)).

Přibyla nám rovnice pro uC(t), máme tedy 10 rovnic, ale jenom 2 počáteční podmínky.

Vše je tedy O.K.

Ať jsme použili kterýkoliv postup, nakonec jsme vždy dostali systém 12 rovnic pro 12 neznámých či jejich derivací.

 
Přihlášen(a) jako: novotnym@fit.cvut.cz (novotnym)
/mnt/www/courses/BI-CAO/data/pages/textbook/06/priklad5.txt · Poslední úprava: 2010/11/03 12:52 autor: novotnym
 
Recent changes RSS feed Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki