Příprava studijního programu Informatika je podporována projektem financovaným z Evropského sociálního fondu a rozpočtu hlavního města Prahy.
Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Výše popsaný postup si ukažme na příkladu z obrázku 20. Ve výsledku sice dostaneme trochu jiné rovnice nežli jsme dostali výše, ale jak zvídavý čtenář jistě snadno nahlédne, lze postupnými úpravami jednu soustavu rovnic převést na druhou.
Jeden uzel zvolíme jako referenční; tomuto uzlu přiřadíme číslo 0.
Uzel je „spojitý kus drátu“, tedy je to vodič se všemi svými větvemi (odbočkami). Uzel končí až tam, kde začíná součástka.
Jak jsme si vysvětlili už na Obr. 1, jakékoliv místo uzlu má vůči
referenčnímu uzlu stejné napětí. Je to jako když „od pantáty vedou
dráty“ - když od transformátoru vedou po vesnici dráty, mají odbočku do
baráku Novákovi, pak Potůčkovi, pak Růžičkovi, pak my a po nás další
sousedi … a všichni máme v baráku 230 V (v ideálním případě, samozřejmě
).
Na Obr. 1 jsme si také vysvětlili, že mezi jakýmikoliv dvěma místy
téhož uzlu je nulové napětí. Kdybychom jeden konec voltmetru strčili do
levé zdířky naší zásuvky (v levé zdířce je fáze) a druhý konec
voltmetru strčili do levé zdířky Novákovic zásuvky, naměřili bychom
mezi nimi nulové napětí - tedy zjistili bychom, že mezi těmito dvěma
zdířkami vlastně není žádný rozdíl . 1)
Šipku proudu volíme pokud možno se stejnou orientací jako má šipka napětí na svorkách této součástky. To platí zejména pro součástky, v jejichž rovnicích se vyskytují jak napětí, tak proud (rezistor, kondenzátor, cívka). Pokud je v rovnici součástky pouze jedna z těchto veličin (napětí pro zdroj napětí, proud pro zdroj proudu), pak nemusejí mít šipka napětí a šipka proudu stejnou orientaci.
Pokud by šipka proudu měla opačnou orientaci nežli šipka napětí, potom v rovnicích (8), resp. (9), resp. (11) musíme na jednu ze stran přidat znaménko mínus.
Na každý uzel aplikujeme rovnici (7). Pro jistotu ji zde ještě jednou zopakujme:
Připomínáme, že proudy se nikde neztrácejí. Pokud tedy například proud iR1(t) zleva (z uzlu 3) vleze do rezistoru R1, potom musí napravo (v uzlu 1) z něj vylézt.
Uzel 1:
Do uzlu 1 vtékají proudy iR1(t) a iL(t). Z uzlu 1 vytéká proud iC(t). Platí tedy:
Uzel 2:
Uzel 3:
Poznamenejme, že rovnice pro uzel 3 je zbytečná. Zcela zbytečně zavádíme neznámou iU(t), která se v žádných dalších rovnicích nevyskytuje. Rovnice pro uzel 3 vlastně jenom říká, že iU(t) je synonymem pro iR1(t).
Rovnici pro referenční uzel 0 nikdy nepíšeme, protože není lineárně nezávislá, a tedy nepřináší žádnou novou informaci. Tato rovnice totiž vždy vyplývá z rovnic pro ostatní uzly. Přesvědčme se o tom - sečteme-li rovnice pro uzly 1, 2 a 3, pak po jednoduchých úpravách dostaneme:
což je rovnice pro uzel 0.
Což jsou zpravidla vztahy mezi napětím na svorkách součástky a proudem součástkou. Pro rezistor, kondenzátor a cívku použijeme rovnice (8), (9) a (11).
Rezistor R1:
Napětí uR1(t) na rezistoru R1 označíme se stejnou orientací jako proud iR1(t), který teče tímto rezistorem:
Abychom nemuseli zavádět další neznámou (a tudíž další rovnici), vyjádříme si napětí uR1(t) pomocí uzlových napětí. Podle Obr. 18 platí:
(Připomeňme pravidlo „jdeme z uzlu 3 do uzlu 1, tedy napětí na rezistoru je rovno napětí uzlu 3 minus napětí uzlu 1“.)
Dosazením do rovnice (8) obdržíme:
Kondenzátor C:
Napětí na kondenzátoru je rovno u1(t). Proud kondenzátorem má stejnou orientaci jako napětí na kondenzátoru. Píšeme rovnou podle rovnice (11):
Cívka L:
Napětí na cívce označíme se stejnou orientací jako proud cívkou:
Napětí na cívce jde z uzlu 2 do uzlu 1, tedy platí:
Dosadíme do rovnice (9):
Rezistor R2:
Zdroj napětí U:
Poznamenejme, že rovnice pro zdroj napětí U je opět zbytečná. V podstatě říká, že napětí u3(t) je synonymem pro napětí u(t). Kdybychom do ostatních rovnic (konkrétně do rovnice pro rezistor R1) dosadili u(t) místo u3(t), mohli bychom tuto rovnici opět vynechat. Takto se to skutečně většinou dělá.
V derivaci se vyskytují u1(t) a iL(t). Napíšeme počáteční podmínky (například pro čas 0) pro tyto dvě proměnné:
V tomto případě předpokládáme, že v čase 0 tekl cívkou L nulový proud a kondezátor C byl v tomto čase vybitý (bylo na něm nulové napětí). Obecně ale mohou být počáteční podmínky různé, mohli bychom například psát:
A také nemusejí být stanoveny jako hodnoty v čase 0, ale třeba v nějakém jiném čase:
Zkrátka, počáteční podmínky fungují jako jakýsi záchytný bod. Něco, od čeho se lze odpíchnout. Jak pravil Archimédes, „dejte mi pevný bod a pohnu Zemí“.
Spočítáme počet rovnic (včetně počátečních podmínek) a počet neznámých a jejich derivací. Celkový počet rovnic musí být stejný jako počet neznámých a jejich derivací.
Máme celkem 10 rovnic, konkrétně 3 rovnice pro uzly, 5 rovnic pro součástky a 2 rovnice pro počáteční podmínky.
Máme celkem 8 neznámých (u1(t), u2(t), u3(t), iU(t), iR1(t), iR2(t), iC(t), iL(t)) a 2 neznámé v derivaci (u2'(t), iL'(t)).
Počet rovnic odpovídá počtu neznámých a neznámých v derivaci.
V notebooku CAOUzlyPriklad1.nb (PDF) naleznete řešení tohoto příkladu. Verzi s vynechanými komentáři naleznete v noteboku CAOUzlyPriklad1NoComment.nb (PDF).