Překlady této stránky:

6. Metoda uzlových napětí

Metoda uzlových napětí využívá zachování proudů, proudy však vyjadřujeme pomocí napětí :-).

obr18_resize.jpg

Na Obr. 18 jsou zakresleny tzv. uzly 1, 2, 3 a uzel 0 označený značkou pro společný vodič. Známe-li napětí uzlů 1, 2 a 3 proti uzlu 0, tedy napětí U1, U2, U3, pak můžeme určit napětí mezi kterýmikoli dvěma uzly, například platí:

Graph.

Ke znalosti napětí mezi kterýmikoli dvěma body stačí, abychom znali napětí bodů vůči společnému vodiči. Budeme-li napětí na prvku mezi dvěma uzly počítat z rozdílu napětí těchto uzlů proti (libovolně zvolenému) společnému uzlu, splníme vlastně automaticky rovnice plynoucí z řazení napětí (a tedy i zdrojů napětí).

obr19_resize.jpg

S prvky, se kterými jsme se zatím z teorie obvodů seznámili, přichází v úvahu pro každý uzel situace podle Obr. 19: uvažovaný uzel může být spojen s dalšími uzly rezistorem, kondenzátorem, cívkou, zdrojem napětí a zdrojem proudu, na obrázku jsou vyznačeny také (libovolně zvolené) orientace napětí mezi uzly a shodně s orientací napětí orientace proudů (aby platily rovnice (8), (9) a (11) popisující vztahy mezi proudem a napětím na rezistoru, cívce a kondenzátoru).

Vyjádříme všechny proudy tekoucí do a nebo z uzlu 6 a uvedeme, jestli dotyčný proud vtéká nebo vytéká: abychom správně dosadili do rovnice (7).

Uzly 3 a 6:

Rovnice (20):

Graph

Graph

Uzly 1 a 6:

Rovnice (21):

Graph

Graph

Ke kondenzátoru ještě vždy patří počáteční podmínka s napětím:

Graph Graph

Uzly 4 a 6:

Zde je situace nejjednodušší, daný definicí zdroje proudu:

Graph

Zatím jsme tedy získali proudy, které budeme dosazovat do rovnice (7), bylo to jednoduché, protože z rovnic pro rezistor a kondenzátor jde při známém napětí vyjádřit snadno proud pomocí dělení nebo pomocí derivace napětí a proud ze zdroje proudu je zadaný z definice zdroje proudu. V rovnici pro ideální zdroj napětí se proud nevyskytuje, nelze z ní tedy vyjádřit. Pomůžeme si tak, že tento proud pojmenujeme, čímž získáme novou neznámou. Pro další neznámou ale potřebujeme další rovnici: bude to rovnice zdroje napětí.

Uzly 5 a 6:

Graph

Nová rovnice:

Rovnice (22):

Graph

Obdobně naložíme s cívkou, proud jí tekoucí označíme jako novou proměnnou a rovnici pro cívku přidáme k systému rovnic.

Uzly 2 a 6:

Graph

Graph

Nová rovnice

Rovnice (23):

Graph

K cívce ještě vždy patří počáteční podmínka s proudem:

Graph Graph

Dosaďme za proudy do bilance (7)

Graph

Graph

Rovnice popisující zachování proudu v uzlu:

Rovnice (24):

Graph

Graph

Další rovnice vzniklé z důvodu nově zavedených neznámých:

Rovnice (25):

Graph

Graph

Počáteční podmínky pro kondenzátory a indukčnosti:

Graph Graph

Graph Graph

Pro každý uzel můžeme napsat 1 rovnici popisující zachování proudu, jako jsme napsali rovnici (24). Zavádíme-li nové proměnné, ke každé okamžitě máme rovnici. Máme tedy tolik rovnic, kolik je neznámých.

Je tedy naděje, že má-li schéma dobrý smysl, můžeme nalézt neznámá napětí uzlů a hodnoty nově zavedených proměnných. Veličiny, které jsme vyloučili dosazením vlastností obvodových prvků, můžeme snadno dopočíst, například

Graph

a podobně.

Poznámka 1:

Pokud zavádíme novou proměnnou a rovnici, učiníme tak když ji poprvé u některého z uzlů potřebujeme; podruhé bychom dělali totéž zbytečně znovu: to není chyba, ale je to hloupé.

Poznámka 2:

Ne vždy má n rovnic o n neznámých právě jedno řešení, a to ani v případě rovnic diferenciálních. Pokud má být ale obvod použitelný v praxi, chtěli bychom právě jedno řešení a to dokonce omezené, nekonečná napětí a proudy by v praxi nefungovaly.

Pokud nedokážeme získat jedno řešení s rozumnými výsledky, buď jsme obvod popsali špatně, nebo je schéma nesmyslné, nebo se ptáme na veličinu, kterou nelze určit (například napětí mezi tzv. galvanicky zcela oddělenými obvody…)

Příklad

Ukažme si to na obvodu podle Obr. 20:

obr20_resize.jpg

Uzel 1:

Rovnice popisující zachování proudu:

Graph

Rovnice z důvodu nově zavedené proměnné:

Graph

Počáteční podmínka pro cívku:

Graph Graph

Počáteční podmínka pro kondenzátor:

Graph Graph

Uzel 2:

Rovnice popisující zachování proudu:

Graph

Rovnice z důvodu nově zavedené proměnné:

  • nejsou, opakovali bychom se


Počáteční podmínky:

  • Nepřibyla žádná nová cívka ani kondenzátor, nejsou.


Řešení je provedeno v notebooku CAOUzlyUkazka.nb, PDF.

Algoritmus pro metodu uzlových napětí

Zde uvedeme postup, jak popsat obvod metodou uzlových napětí.

Pro zadané schéma provedeme tyto kroky:

  1. Označíme uzly a očíslujeme je. Jeden uzel zvolíme jako referenční; tomuto uzlu přiřadíme číslo 0.
  2. Označíme uzlová napětí, tedy napětí jednotlivých uzlů vůči uzlu referenčnímu.
  3. Označíme proudy jednotlivými součástkami.
  4. Napíšeme rovnice pro proudy v uzlech (tedy vztahy podle rovnice (7)).
  5. Napíšeme rovnice součástek, tedy vztahy pro napětí mezi svorkami součástky. Pro rezistor, kondenzátor a cívku použijeme rovnice (8), (9) a (11) (Pozor na vzájemnou orientaci proudů a napětí!).
  6. Pro neznámé, které se vyskytují v derivaci, napíšeme počáteční podmínky.
  7. Provedeme kontrolu. Spočítáme počet rovnic (včetně počátečních podmínek) a počet neznámých a jejich derivací. Celkový počet rovnic musí být stejný jako počet neznámých a jejich derivací.

Zobecněné rovnice součástek

Bod 5 algoritmu doplňme o zobecněné rovnice součástek. Předpokládejme, že součástka je obecně zapojena mezi uzly A a B, které mají uzlová napětí uA(t) a uB(t). Potom pro jednotlivé součástky platí následující vztahy

Rezistor

Pro napětí uR(t) mezi svorkami rezistoru platí podle Obr. 18: uR(t) = uA(t) - uB(t). Dosazením do rovnice (8) dostáváme:

Graph

Velikost odporu R je zadaná, uA(t), uB(t) a iR(t) jsou neznámé.

Kondenzátor

Graph

Velikost kapacity C je zadaná, uA(t), uB(t) a iC(t) jsou neznámé.

Cívka

Graph

Velikost indukčnosti L je zadaná, uA(t), uB(t) a iL(t) jsou neznámé.

Zdroj napětí

Graph

Napětí zdroje uZ(t) je zadané, uA(t) a uB(t) jsou neznámé.

Zdroj proudu

Pro zdroj proudu nepíšeme žádnou rovnici.

Příklad 1

Výše popsaný postup si ukažme na příkladu z obrázku 20. Ve výsledku sice dostaneme trochu jiné rovnice nežli jsme dostali výše, ale jak zvídavý čtenář jistě snadno nahlédne, lze postupnými úpravami jednu soustavu rovnic převést na druhou.

>>> PRO ŘEŠENÍ KLIKNĚTE ZDE

Příklad 2 - RC článek

Procvičme si metodu uzlových napětí i na velmi jednoduchém obvodu z obr. 14:

>>> ŘEŠENÍ

Příklad 3 - RLC článek

Procvičme si metodu uzlových napětí i na velmi jednoduchém obvodu z obr. 15:

>>> ŘEŠENÍ

Příklad 4

Příklad 5

Řešte obvod na obrázku pro tyto hodnoty součástek: R1=R2=R3=1kΩ, C=1μF a L=1mH. Obvod je napájen zdrojem proudu sinusového průběhu s amplitudou 100 mA, frekvencí 1 kHz a fázovým posunem o 45° (π/4), tedy i(t)=0,1 sin(2π*1000*t+π/4).

>>> ŘEŠENÍ

Příklad 6

Řešte obvod na obrázku pro tyto hodnoty součástek: L=1mH. Obvod je napájen zdrojem proudu sinusového průběhu s amplitudou 1 A, frekvencí 1 kHz a fázovým posunem o 45° (π/4), tedy i(t)=0,1 sin(2π*1000*t+π/4).

>>> ŘEŠENÍ

 
Přihlášen(a) jako: novotnym@fit.cvut.cz (novotnym)
/mnt/www/courses/BI-CAO/data/pages/textbook/06/start.txt · Poslední úprava: 2010/10/01 15:22 autor: novotnym
 
Recent changes RSS feed Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki