Thought up by: Jan Kyncl
Caught and created by: Jakub Nečesaný

Symmetrization of 1ph and 3ph appliances

In many industrial applications there are very large electrical devices connected to the electrical distribution system. These devices should be symmetrical, because the power transmission causes the lowest active losses in this case. Hence, we perform so-called symmetrization of power appliances. Our goal is to create a complex that will strain all phases uniformly. Not to increase present real power is obvious demand by symmetrization process. This, as we will see it later, can be done by using a suitable combination of capacitors or inductors that we connect between individual phases of our device. Symmetrization can be applied not only to existing 3ph devices, but also to 1ph devices that must be fed by 3 phases in practice. It is used mainly for feeding power devices of over 500 kW.

First, we start first with real admittance, for example G = 5 S:

From this admittance we make symmetrical 3ph real load this way:

Derivation:

Let we consider connection, labeling and circuit quantity orientation of the circuit elements according to the following scheme:

Mezi uzly 2 a 3 nechť je zapojena reálná zátěž o vodivosti G (S). Požadujeme, aby po připojení admitancí YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub (S) a YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub (S) byla zátěž reálná a symetrická; dalším požadavkem je, aby činný výkon odebíraný zátěží zůstal nezměněn, matematizujme tyto požadavky:

# zachování činného výkonu: YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub a YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub jsou ryze imaginární,
# výsledné zapojení neodebírá jalový výkon: YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = -YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub; položme YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = j.Y, YPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = -j.Y,
# symetrie odebíraných proudů: IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = k.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub, IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = k.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub, IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = k.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub.

Zaveďme označení fázových napětí v elektroenergetice obvyklým způsobem:
UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = U, UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = U.aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup, UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = U.a, kde je operátor otočení v komplexní rovině o proti směru hodinových ručiček, přestože to řešení nevyžaduje, je výhodné položit , což jistě můžeme, znamená to jen volbu počátku měření času při přechodu od fázorů do časové oblasti. S uvážením těchto podmínek platí:

IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub + IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = j.Y.(UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub) - j.Y.(UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub) = j.Y.U.(1 - aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup) - j.Y.U.(1 - a) = k.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = k.U

IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = G.(UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub) - j.Y.(UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub) = G.U.(aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup - a) - j.Y.U.(1 - a) = k.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = k.U.aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup

IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = -IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - IPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = -G.(UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub) - (-j.Y).(UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub - UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub) = -G.U.(aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup - a) + j.Y.U.(1 - a) = k.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sub = k.U.a

U, a, G jsou zadané veličiny, Y, k neznámé. Máme tedy 3 rovnice pro 2 neznámé, rovnice jsou ovšem lineárně závislé: součet levých stran je nulový na první pohled a pro součet pravých stran platí:

k.U.(1 + aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup + a) = 0, neboť platí 1 + aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup + a = 0.

Řešení soustavy je ve formě notebooku, výsledkem je: k = G a Y = -G /.

Vidíme, že úloha je splněna: proudy jsou G násobkem příslušných fázových napětí, navíc -podle předpokladu- . Celkový činný výkon je:

P = Re{U.G.U} + Re{aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.U. (aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.U.G)Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup } = UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup

.G.(1 + aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.(aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup)Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup + a.aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup) = UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.G.(1 + |aPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup|Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup + |a|Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup) = UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.G.(1 + |a|Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup + |a|Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup) = UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.G.(1 + 1 + 1) = 3.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.G

Činný výkon původního zapojení před připojením symetrizačních členů byl: P = G.(.U)Plugin insertion failed: Could not find plugin Sup = 3.UPlugin insertion failed: Could not find plugin Sup.G.

Konec odvození.

Stačí tedy zapojit mezi uzly 1-3 ideální kapacitu o velikosti admitance 5 / S (Siemens) a mezi uzly 1-2 ideální indukčnost o velikosti admitance 5 / S, a dostaneme z jednofázového spotřebiče trojfázový symetrický spotřebič.

Nyní se však podívejme na obecnou 3f nesymetrickou zátěž. Zesymetrizujeme ji obdobným postupem jako u jedné reálné admitance (viz výše), a to tak, že postupně budeme aplikovat stejný postup symetrizace pro jednotlivé větve zvlášť. Využijeme skutečnosti, že paralelní spojení trojfázových symetrických reálných zátěží se chová jako symetrická reálná trojfázová zátěž. Navíc označení fází čísly 1,2,3 je libovolné při zachování jejich sledu, můžeme tedy při myšleném přečíslování fází postupovat u každé mezifázové zátěže obdobně, jak je uvedeno výše. Vše si nejlépe vysvětlíme na příkladu. Máme takový případ:

Nejprve dosáhneme reálné zátěže mezi jednotlivými uzly, t.j. mezi uzly 1 a 2 připojíme admitanci 4j S, mezi uzly 2 a 3 admitanci -2j S a mezi uzly 3 a 1 admitanci -6j S. Vše přehledně zapíšeme do tabulky.

Nyní je obvod vykompenzován, ale ještě ne zesymetrizován:

Postupme dále. Tento vykompenzovaný obvod považujeme za paralelní spojení třech jednoduchých jednofázových spotřebičů (jsou ale pokaždé mezi dvěma různými uzly),

a s těmito oddělenými jednoduchými admitancemi provedeme symetrizaci, jako na začátku, každou admitanci zesymetrizujeme zvlášť. Pokud provádíme symetrizaci spotřebiče mezi uzly 1-2, pak mezi uzly 2-3 bude kapacita o velikosti admitance 3 / a mezi uzly 3-1 bude indukčnost o velikosti admitance 3 /. Pro symetrizaci spotřebiče, který je zapojen mezi uzly 3-1, platí analogický postup. Zkráceně řečeno, schema natáčíme vždy tak, aby se admitance G kryla s požadovanou admitancí z paralelní kombinace, kterou právě symetrizujeme, a zbývající větve dopočítáme podle schematu. Natočení totiž nemění sled fází. Pokračujeme dále v tabulce:

větev 1-2	větev 2-3	větev 3-1
4j	-2j	-6j	vykompenzováno
-1j/		1j/	příspěvky větví ze schematu
	3j/	-3j/	příspěvky větví ze schematu
5j /	-5j/		příspěvky větví ze schematu
----	----	----	----
j (4 +4/)	j (-2 -2/)	j (-6 +2/)	suma sloupců

V tabulce je důležitý poslední řádek, který je součtem všech příspěvků v dané větvi. Tyto hodnoty nám určují typ prvku a jeho velikost, který připojíme paralelně k odpovídající větvi. Jelikož uvažujeme obvod s jednou frekvencí napětí a proudů, je možno vždy nahradit paralelní kombinaci indukčnosti a kapacity jedním prvkem, indukčností či kapacitou podle výsledného znaménka admitance. Upozorněme, že velikosti admitancí jsou funkcemi frekvence, pro obecný obvod s obecným napájením tato náhrada možná není. Například k větvi mezi uzly 3-1 připojíme kondenzátor o velikosti admitance j(4 +4/) S (kondenzátor, protože výraz je kladný). Výsledkem je tedy schema:

Symetrizace byla provedena. Výsledné zařízení odebírá reálný výkon ze sítě. Z libovolné admitance lze tedy vytvořit symetrickou zátěž.
V praxi se ale s explicitním vyjádřením admitance příliš často nesetkáváme. Daleko častější je způsob zadání například:

Pro získání explicitního vyjádření, na které jsme zvyklí, použijeme následující vzorec, který je ilustrován výpočetem:

Dostali jsme explicitní vyjádření admitance. S těmito hodnotami dále nakládáme, jako v předchozím příkladě.

KONEC ZVONEC.