PowerWiki: Symmetrization

At line 1 added 2 lines.

[{ALLOW view All}]

[{ALLOW edit,upload Trusted}]

At line 25 changed 3 lines.

Mezi uzly 2 a 3 nechť je zapojena reálná zátěž o vodivosti ''G'' (S). Požadujeme, aby po připojení admitancí

''Y''[{Sub par='12'}] (S) a ''Y''[{Sub par='13'}] (S) byla zátěž reálná a symetrická; dalším požadavkem je, aby

činný výkon odebíraný zátěží zůstal nezměněn, matematizujme tyto požadavky:\\ \\

Let real load is connected between nodes 2 and 3 with conductivity of ''G'' (S). We require load to be real and symmetrical after connection of admittances

''Y''%%sub 12%% (S) and ''Y''%%sub 13%% (S) real power (picked by the load) has to stay without any changes is the next demand. We translate these requirements to the mathematical language:\\ \\

At line 29 changed 3 lines.

~# zachování činného výkonu: ''Y''[{Sub par='12'}] a ''Y''[{Sub par='13'}] jsou ryze imaginární,\\

~# výsledné zapojení neodebírá jalový výkon: ''Y''[{Sub par='12'}] = -''Y''[{Sub par='13'}]; položme ''Y''[{Sub par='12'}] = ''j.Y'', ''Y''[{Sub par='13'}] = ''-j.Y'',\\

~# symetrie odebíraných proudů: ''I''[{Sub par='1'}] = ''k.U''[{Sub par='1'}], ''I''[{Sub par='2'}] = ''k.U''[{Sub par='2'}], ''I''[{Sub par='3'}] = ''k.U''[{Sub par='3'}].

~# conservation of the real power: ''Y''%%sub 12%% and ''Y''%%sub 13%% are purely imaginary,\\

~# resulting circuit picks no reactive power: ''Y''%%sub 12%% = -''Y''%%sub 13%%; let lay down ''Y''%%sub 12%% = ''j.Y'', ''Y''%%sub 13%% = ''-j.Y'',\\

~# symmetry of picked currents: ''I''%%sub 1%% = ''k.U''%%sub 1%%, ''I''%%sub 2%% = ''k.U''%%sub 2%%, ''I''%%sub 3%% = ''k.U''%%sub 3%%.

At line 33 changed 6 lines.

Zaveďme označení fázových napětí v elektroenergetice obvyklým způsobem:\\

''U''[{Sub par='1'}] = ''U'', ''U''[{Sub par='2'}] = ''U.a''[{Sup par='2'}], ''U''[{Sub par='3'}] =

''U.a'', kde [Symetrizace/Acko.gif] je operátor otočení v komplexní rovině o [Symetrizace/Zlomek.gif] proti směru hodinových ručiček, přestože to řešení

nevyžaduje, je výhodné položit [Symetrizace/Ur.gif], což jistě můžeme, znamená to jen volbu počátku

měření času při přechodu od fázorů do časové oblasti.

S uvážením těchto podmínek platí:\\

Let we establish labeling of the phases voltage by usual form in the energetics:\\

''U''%%sub 1%% = ''U'', ''U''%%sub 2%% = ''U.a''%%sup 2%%, ''U''%%sub 3%% =

''U.a'', where [Symetrizace/Acko.gif] is the operator of rotation in complex plane of [Symetrizace/Zlomek.gif] anticlockwise.

We take advantage by lying down [Symetrizace/Ur.gif], although it isn't necessary for the solution. It means only the choice of the beginning of time measuring at passing from phasors to time area. With these conditions holds:\\

At line 40 changed 3 lines.

''I''[{Sub par='1'}] = ''I''[{Sub par='12'}] + ''I''[{Sub par='13'}] = ''j.Y.''(''U''[{Sub par='1'}] -

''U''[{Sub par='2'}]) - ''j.Y.''(''U''[{Sub par='1'}] - ''U''[{Sub par='3'}]) = ''j.Y.U.''(1 -

''a''[{Sup par='2'}]) - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''[{Sub par='1'}] = ''k.U''\\

''I''%%sub 1%% = ''I''%%sub 12%% + ''I''%%sub 13%% = ''j.Y.''(''U''%%sub 1%% -

''U''%%sub 2%%) - ''j.Y.''(''U''%%sub 1%% - ''U''%%sub 3%%) = ''j.Y.U.''(1 -

''a''%%sup 2%%) - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 1%% = ''k.U''\\

At line 44 changed 3 lines.

''I''[{Sub par='2'}] = ''I''[{Sub par='23'}] - ''I''[{Sub par='12'}] = ''G.''(''U''[{Sub par='2'}] -

''U''[{Sub par='3'}]) - ''j.Y.''(''U''[{Sub par='1'}] - ''U''[{Sub par='2'}]) = ''G.U.''(''a''[{Sup par='2'}]

- ''a'') - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''[{Sub par='2'}] = ''k.U.a''[{Sup par='2'}]\\

''I''%%sub 2%% = ''I''%%sub 23%% - ''I''%%sub 12%% = ''G.''(''U''%%sub 2%% -

''U''%%sub 3%%) - ''j.Y.''(''U''%%sub 1%% - ''U''%%sub 2%%) = ''G.U.''(''a''%%sup 2%%

- ''a'') - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 2%% = ''k.U.a''%%sup 2%%\\

At line 48 changed 3 lines.

''I''[{Sub par='3'}] = -''I''[{Sub par='23'}] - ''I''[{Sub par='13'}] = -''G.''(''U''[{Sub par='2'}] -

''U''[{Sub par='3'}]) - (-''j.Y'')''.''(''U''[{Sub par='1'}] - ''U''[{Sub par='3'}]) =

-''G.U.''(''a''[{Sup par='2'}] - ''a'') + ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''[{Sub par='3'}] =

''I''%%sub 3%% = -''I''%%sub 23%% - ''I''%%sub 13%% = -''G.''(''U''%%sub 2%% -

''U''%%sub 3%%) - (-''j.Y'')''.''(''U''%%sub 1%% - ''U''%%sub 3%%) =

-''G.U.''(''a''%%sup 2%% - ''a'') + ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 3%% =

At line 53 changed 3 lines.

''U'', ''a'', ''G'' jsou zadané veličiny, ''Y'', ''k'' neznámé. Máme tedy 3 rovnice pro 2

neznámé, rovnice jsou ovšem lineárně závislé: součet levých stran je nulový na první pohled a pro součet pravých

stran platí:\\

''U'', ''a'', ''G'' are ordered quantities, ''Y'', ''k'' are unknowns. Thus we have 3 equations for 2 unknowns, but equations are linearly dependent: the sum of the left sides is zero at first sight and for the sum of the right sides holds:\\

At line 57 changed 1 line.

''k.U.''(1 + ''a''[{Sup par='2'}] + ''a'') = 0, neboť platí 1 + ''a''[{Sup par='2'}] + ''a'' = 0.

''k.U.''(1 + ''a''%%sup 2%% + ''a'') = 0, because holds 1 + ''a''%%sup 2%% + ''a'' = 0.

At line 59 changed 2 lines.

Řešení soustavy je ve formě [notebooku|Symetrizace/symmetrization.nb],

výsledkem je: ''k'' = ''G'' a ''Y'' = -''G'' /[Symetrizace/sqrt(3).png].

Solution of the system is in [notebooku|Symetrizace/symmetrization.nb],

form; the result is: ''k'' = ''G'' a ''Y'' = -''G'' /[Symetrizace/sqrt(3).png].

At line 62 changed 2 lines.

Vidíme, že úloha je splněna: proudy jsou ''G'' násobkem příslušných fázových napětí, navíc -podle

předpokladu- [Symetrizace/Ur.gif]. Celkový činný výkon je:\\

As we can see, the problem is solved: currents are ''G'' -multiplied of the appropriated phases voltage and in addition - according to the presumption - [Symetrizace/Ur.gif]. General real power is:\\

At line 65 changed 1 line.

''P'' = Re{''U.G.U''} + Re{''a''[{Sup par='2'}]''.U.'' (''a''[{Sup par='2'}]''.U.G'')[{Sup par='*'}] } = ''U''[{Sup par='2'}]

''P'' = Re{''U.G.U''} + Re{''a''%%sup 2%%''.U.'' (''a''%%sup 2%%''.U.G'')%%sup *%% } = ''U''%%sup 2%%

At line 67 changed 4 lines.

''.G.''(1 + ''a''[{Sup par='2'}]''.''(''a''[{Sup par='2'}])[{Sup par='*'}] +

''a.a''[{Sup par='*'}]) = ''U''[{Sup par='2'}]''.G.''(1 + ~|''a''[{Sup par='2'}]~|[{Sup par='2'}] +

~|''a''~|[{Sup par='2'}]) = ''U''[{Sup par='2'}]''.G.''(1 + ~|''a''|[{Sup par='4'}] +

~|''a''~|[{Sup par='2'}]) = ''U''[{Sup par='2'}]''.G.''(1 + 1 + 1) = 3.''U''[{Sup par='2'}].G

''.G.''(1 + ''a''%%sup 2%%''.''(''a''%%sup 2%%)%%sup *%% +

''a.a''%%sup *%%) = ''U''%%sup 2%%''.G.''(1 + ~|''a''%%sup 2%%~|%%sup 2%% +

~|''a''~|%%sup 2%%) = ''U''%%sup 2%%''.G.''(1 + ~|''a''|%%sup 4%% +

~|''a''~|%%sup 2%%) = ''U''%%sup 2%%''.G.''(1 + 1 + 1) = 3.''U''%%sup 2%%.G

At line 72 changed 1 line.

Činný výkon původního zapojení před připojením symetrizačních členů byl: ''P'' = ''G.''([Symetrizace/sqrt(3).png]''.U'')[{Sup par='2'}] = 3''.U''[{Sup par='2'}]''.G''.

Real power of original circuit was without any additional devices: ''P'' = ''G.''([Symetrizace/sqrt(3).png]''.U'')%%sup 2%% = 3''.U''%%sup 2%%''.G''.

At line 74 changed 1 line.

Konec __odvození__.\\

Derivation __closed__.\\

At line 76 changed 4 lines.

Stačí tedy zapojit mezi uzly 1-3 ideální kapacitu o velikosti admitance

5 /[Symetrizace/sqrt(3).png] S (Siemens) a mezi uzly 1-2 ideální

indukčnost o velikosti admitance 5 /[Symetrizace/sqrt(3).png] S,

a dostaneme z jednofázového spotřebiče trojfázový symetrický spotřebič.\\

The point is to connect ideal capacity with an admittance of

5 /[Symetrizace/sqrt(3).png] S (Siemens) between nodes 1-3 and ideal inductance with an admittance of 5 /[Symetrizace/sqrt(3).png] S,

between nodes 1-2, so that we receive 3ph symmetrical appliance from original 1ph appliance.\\

At line 81 changed 7 lines.

Nyní se však podívejme na obecnou 3f nesymetrickou zátěž. Zesymetrizujeme ji

obdobným postupem jako u jedné reálné admitance (viz výše), a to tak, že postupně

budeme aplikovat stejný postup symetrizace pro jednotlivé větve zvlášť. Využijeme skutečnosti, že paralelní

spojení trojfázových symetrických reálných zátěží se chová jako symetrická reálná trojfázová zátěž. Navíc označení fází

čísly 1,2,3 je libovolné při zachování jejich sledu, můžeme tedy při myšleném přečíslování fází postupovat

u každé mezifázové zátěže obdobně, jak je uvedeno výše. Vše si nejlépe

vysvětlíme na příkladu. Máme takový případ:

Now let us look at common 3ph unsymmetrical load. By analogical procedure we make this load symmetric (as in the case above). We will apply the same symmetrization procedure for each branch separately. We use the fact that parallel connection of 3ph symmetric real loads behave as one 3ph symmetric real load. In addition, labeling of the phases by numbers 1,2,3 is arbitrary in the course of phase sequence. Thus we can in the course of thought renumber of the phase progress with every load between 2 phases accordingly as before. It can be best demonstrated on a simple example:

At line 91 changed 1 line.

Nejprve dosáhneme reálné zátěže mezi jednotlivými uzly, t.j. mezi uzly 1 a 2 připojíme admitanci 4j S, mezi uzly 2 a 3 admitanci -2j S a mezi uzly 3 a 1 admitanci -6j S. Vše přehledně zapíšeme do tabulky.

First real load will be achieved between single nodes, i.e. we assume admittance 4j S between nodes 1 and 2, admittance -2j S between nodes 2 and 3 and admittance -6j S between nodes 3 and 1. We write down all to the table, transparently.

At line 93 changed 2 lines.

|| větev 1-2 || větev 2-3 || větev 3-1 || [{nbsp}]

| 4j | -2j | -6j | vykompenzováno

|| branch 1-2 || branch 2-3 || branch 3-1 || [{nbsp}]

| 4j | -2j | -6j | compensed

At line 96 changed 1 line.

Nyní je obvod vykompenzován, ale ještě ne zesymetrizován:

The circuit is compensed now, but not yet symmetrized:

At line 100 changed 1 line.

Postupme dále. Tento vykompenzovaný obvod považujeme za paralelní spojení třech jednoduchých jednofázových spotřebičů (jsou ale pokaždé mezi dvěma různými uzly),

Next, we will consider the compensed circuit as a parallel combination of three simple 1ph appliances (but they are every time between 2 different nodes)

At line 104 changed 10 lines.

a s těmito oddělenými jednoduchými admitancemi provedeme symetrizaci,

jako na začátku, každou admitanci zesymetrizujeme zvlášť.

Pokud provádíme symetrizaci spotřebiče

mezi uzly 1-2, pak mezi uzly 2-3 bude kapacita o velikosti admitance

3 /[Symetrizace/sqrt(3).png]

a mezi uzly 3-1 bude indukčnost o velikosti admitance 3 /[Symetrizace/sqrt(3).png].

Pro symetrizaci spotřebiče, který je zapojen mezi uzly 3-1, platí analogický postup.

Zkráceně řečeno, __schema__ natáčíme vždy tak, aby se admitance G kryla s požadovanou

admitancí z __paralelní kombinace__, kterou právě symetrizujeme,

a zbývající větve dopočítáme podle __schematu__. Natočení totiž nemění sled fází. Pokračujeme dále v tabulce:

and with these separated simple admittances we perform symmetrization, as in the beginning, each admittance separately. If we perform symmetrization of appliance between nodes 1-2, there will be capacity with admittance of 3/[Symetrizace/sqrt(3).png]

between nodes 2-3 and inductance with admittance of 3/[Symetrizace/sqrt(3).png] between nodes 3-1.

We use analogical procedure for symmetrization of the appliance between nodes 3-1. In short, __the scheme__ is rotated always in order to overlay admittance G with required admittance from __parallel combination__, which is symmetrized right now and we calculate the other branches according to __the scheme__. Rotating causes no changing of phase sequence. Let us continue in our table:

At line 115 changed 5 lines.

||větev 1-2 ||větev 2-3 ||větev 3-1 || [{nbsp}]

|4j |-2j |-6j |vykompenzováno

|-1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | |1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |příspěvky větví ze schematu

| |3j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |-3j/[Symetrizace/sqrt(3).png]|příspěvky větví ze schematu

|5j / |-5j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | | příspěvky větví ze schematu

||branch 1-2 ||branch 2-3 ||branch 3-1 || [{nbsp}]

|4j |-2j |-6j |compensed

|-1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | |1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |benefits of branches from __the scheme__

| |3j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |-3j/[Symetrizace/sqrt(3).png]|benefits of branches from __the scheme__

|5j / |-5j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | | benefits of branches from __the scheme__

At line 121 changed 1 line.

|j (4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-2 -2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-6 +2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |suma sloupců

|j (4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-2 -2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-6 +2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |sum of columns

At line 123 changed 8 lines.

V tabulce je důležitý poslední řádek, který je součtem všech příspěvků v dané

větvi. Tyto hodnoty nám určují typ prvku a jeho velikost,

který připojíme paralelně k odpovídající větvi. Jelikož uvažujeme obvod s jednou frekvencí napětí

a proudů, je možno vždy nahradit paralelní kombinaci indukčnosti a kapacity jedním prvkem, indukčností

či kapacitou podle výsledného znaménka admitance. Upozorněme, že velikosti admitancí jsou funkcemi frekvence,

pro obecný obvod s obecným napájením tato náhrada možná není. Například k větvi mezi uzly 3-1 připojíme

kondenzátor o velikosti admitance j(4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) S (kondenzátor, protože výraz

je kladný). Výsledkem je tedy schema:

The last row in the table is important for us. This row is a sum of all benefits from each branch. These values determine the type of the element and its quantity. We will connect these elements in parallel to the appropriate branch. It is always possible to replace parallel combination of capacitor and inductor with the one element, inductor or capacitor, according to the final sign of admittance number, because we think the circuit with one voltage frequency and current frequency. Notice that the size of admittance is a function of frequency. Therefore, this replacement is not possible for common circuit with common power supply. For instance, we connect capacitor with the admittance of j(4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) S to the branch between nodes 3-1 (capacitor, because the expression is positive). The resulting scheme is:

At line 134 changed 2 lines.

Symetrizace byla provedena. Výsledné zařízení odebírá reálný výkon ze sítě. Z libovolné admitance lze tedy vytvořit symetrickou zátěž.\\

V praxi se ale s explicitním vyjádřením admitance příliš často nesetkáváme. Daleko častější je způsob zadání například:

Symmetrization is done. Only real power is drawn from the electrical distribution system by this symmetrized appliance. Thus, we can create symmetric load from an arbitrary admittance.

However, in practice there is usually no explicit expression of admittance. Often, the way of setting example is as follows:

At line 139 changed 1 line.

Pro získání explicitního vyjádření, na které jsme zvyklí, použijeme následující vzorec, který je ilustrován výpočetem:

We use the following figure to obtain an explicit expression of admittance. For illustration, the calculation is performed here as well.

At line 144 changed 1 line.

Dostali jsme explicitní vyjádření admitance. S těmito hodnotami dále nakládáme, jako v __předchozím příkladě.__\\

We got the explicit expression of admittance. These values are treated as in the __previous example__.\\

At line 146 changed 1 line.

KONEC ZVONEC.

THE END.