PowerWiki: Symmetrization

At line 1 added 2 lines.

[{ALLOW view All}]

[{ALLOW edit,upload Trusted}]

At line 33 changed 1 line.

''U''%%sub 1%% = ''U'', ''U''%%sub 2%% = ''U.a''%%super 2%%, ''U''%%sub 3%% =

''U''%%sub 1%% = ''U'', ''U''%%sub 2%% = ''U.a''%%sup 2%%, ''U''%%sub 3%% =

At line 39 changed 1 line.

''a''%%super 2%%) - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 1%% = ''k.U''\\

''a''%%sup 2%%) - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 1%% = ''k.U''\\

At line 42 changed 2 lines.

''U''%%sub 3%%) - ''j.Y.''(''U''%%sub 1%% - ''U''%%sub 2%%) = ''G.U.''(''a''%%super 2%%

- ''a'') - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 2%% = ''k.U.a''%%super 2%%\\

''U''%%sub 3%%) - ''j.Y.''(''U''%%sub 1%% - ''U''%%sub 2%%) = ''G.U.''(''a''%%sup 2%%

- ''a'') - ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 2%% = ''k.U.a''%%sup 2%%\\

At line 47 changed 1 line.

-''G.U.''(''a''%%super 2%% - ''a'') + ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 3%% =

-''G.U.''(''a''%%sup 2%% - ''a'') + ''j.Y.U.''(1 - ''a'') = ''k.U''%%sub 3%% =

At line 52 changed 1 line.

''k.U.''(1 + ''a''%%super 2%% + ''a'') = 0, because holds 1 + ''a''%%super 2%% + ''a'' = 0.

''k.U.''(1 + ''a''%%sup 2%% + ''a'') = 0, because holds 1 + ''a''%%sup 2%% + ''a'' = 0.

At line 59 changed 1 line.

''P'' = Re{''U.G.U''} + Re{''a''%%super 2%%''.U.'' (''a''%%super 2%%''.U.G'')%%super *%% } = ''U''%%super 2%%

''P'' = Re{''U.G.U''} + Re{''a''%%sup 2%%''.U.'' (''a''%%sup 2%%''.U.G'')%%sup *%% } = ''U''%%sup 2%%

At line 61 changed 4 lines.

''.G.''(1 + ''a''%%super 2%%''.''(''a''%%super 2%%)%%super *%% +

''a.a''%%super *%%) = ''U''%%super 2%%''.G.''(1 + ~|''a''%%super 2%%~|%%super 2%% +

~|''a''~|%%super 2%%) = ''U''%%super 2%%''.G.''(1 + ~|''a''|%%super 4%% +

~|''a''~|%%super 2%%) = ''U''%%super 2%%''.G.''(1 + 1 + 1) = 3.''U''%%super 2%%.G

''.G.''(1 + ''a''%%sup 2%%''.''(''a''%%sup 2%%)%%sup *%% +

''a.a''%%sup *%%) = ''U''%%sup 2%%''.G.''(1 + ~|''a''%%sup 2%%~|%%sup 2%% +

~|''a''~|%%sup 2%%) = ''U''%%sup 2%%''.G.''(1 + ~|''a''|%%sup 4%% +

~|''a''~|%%sup 2%%) = ''U''%%sup 2%%''.G.''(1 + 1 + 1) = 3.''U''%%sup 2%%.G

At line 66 changed 1 line.

Real power of original circuit was without any additional devices: ''P'' = ''G.''([Symetrizace/sqrt(3).png]''.U'')%%super 2%% = 3''.U''%%super 2%%''.G''.

Real power of original circuit was without any additional devices: ''P'' = ''G.''([Symetrizace/sqrt(3).png]''.U'')%%sup 2%% = 3''.U''%%sup 2%%''.G''.

At line 78 changed 1 line.

Nejprve dosáhneme reálné zátěže mezi jednotlivými uzly, t.j. mezi uzly 1 a 2 připojíme admitanci 4j S, mezi uzly 2 a 3 admitanci -2j S a mezi uzly 3 a 1 admitanci -6j S. Vše přehledně zapíšeme do tabulky.

First real load will be achieved between single nodes, i.e. we assume admittance 4j S between nodes 1 and 2, admittance -2j S between nodes 2 and 3 and admittance -6j S between nodes 3 and 1. We write down all to the table, transparently.

At line 80 changed 2 lines.

|| větev 1-2 || větev 2-3 || větev 3-1 || [{nbsp}]

| 4j | -2j | -6j | vykompenzováno

|| branch 1-2 || branch 2-3 || branch 3-1 || [{nbsp}]

| 4j | -2j | -6j | compensed

At line 83 changed 1 line.

Nyní je obvod vykompenzován, ale ještě ne zesymetrizován:

The circuit is compensed now, but not yet symmetrized:

At line 87 changed 1 line.

Postupme dále. Tento vykompenzovaný obvod považujeme za paralelní spojení třech jednoduchých jednofázových spotřebičů (jsou ale pokaždé mezi dvěma různými uzly),

Next, we will consider the compensed circuit as a parallel combination of three simple 1ph appliances (but they are every time between 2 different nodes)

At line 91 changed 10 lines.

a s těmito oddělenými jednoduchými admitancemi provedeme symetrizaci,

jako na začátku, každou admitanci zesymetrizujeme zvlášť.

Pokud provádíme symetrizaci spotřebiče

mezi uzly 1-2, pak mezi uzly 2-3 bude kapacita o velikosti admitance

3 /[Symetrizace/sqrt(3).png]

a mezi uzly 3-1 bude indukčnost o velikosti admitance 3 /[Symetrizace/sqrt(3).png].

Pro symetrizaci spotřebiče, který je zapojen mezi uzly 3-1, platí analogický postup.

Zkráceně řečeno, __schema__ natáčíme vždy tak, aby se admitance G kryla s požadovanou

admitancí z __paralelní kombinace__, kterou právě symetrizujeme,

a zbývající větve dopočítáme podle __schematu__. Natočení totiž nemění sled fází. Pokračujeme dále v tabulce:

and with these separated simple admittances we perform symmetrization, as in the beginning, each admittance separately. If we perform symmetrization of appliance between nodes 1-2, there will be capacity with admittance of 3/[Symetrizace/sqrt(3).png]

between nodes 2-3 and inductance with admittance of 3/[Symetrizace/sqrt(3).png] between nodes 3-1.

We use analogical procedure for symmetrization of the appliance between nodes 3-1. In short, __the scheme__ is rotated always in order to overlay admittance G with required admittance from __parallel combination__, which is symmetrized right now and we calculate the other branches according to __the scheme__. Rotating causes no changing of phase sequence. Let us continue in our table:

At line 102 changed 5 lines.

||větev 1-2 ||větev 2-3 ||větev 3-1 || [{nbsp}]

|4j |-2j |-6j |vykompenzováno

|-1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | |1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |příspěvky větví ze schematu

| |3j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |-3j/[Symetrizace/sqrt(3).png]|příspěvky větví ze schematu

|5j / |-5j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | | příspěvky větví ze schematu

||branch 1-2 ||branch 2-3 ||branch 3-1 || [{nbsp}]

|4j |-2j |-6j |compensed

|-1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | |1j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |benefits of branches from __the scheme__

| |3j/[Symetrizace/sqrt(3).png] |-3j/[Symetrizace/sqrt(3).png]|benefits of branches from __the scheme__

|5j / |-5j/[Symetrizace/sqrt(3).png] | | benefits of branches from __the scheme__

At line 108 changed 1 line.

|j (4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-2 -2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-6 +2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |suma sloupců

|j (4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-2 -2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |j (-6 +2/[Symetrizace/sqrt(3).png]) |sum of columns

At line 110 changed 8 lines.

V tabulce je důležitý poslední řádek, který je součtem všech příspěvků v dané

větvi. Tyto hodnoty nám určují typ prvku a jeho velikost,

který připojíme paralelně k odpovídající větvi. Jelikož uvažujeme obvod s jednou frekvencí napětí

a proudů, je možno vždy nahradit paralelní kombinaci indukčnosti a kapacity jedním prvkem, indukčností

či kapacitou podle výsledného znaménka admitance. Upozorněme, že velikosti admitancí jsou funkcemi frekvence,

pro obecný obvod s obecným napájením tato náhrada možná není. Například k větvi mezi uzly 3-1 připojíme

kondenzátor o velikosti admitance j(4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) S (kondenzátor, protože výraz

je kladný). Výsledkem je tedy schema:

The last row in the table is important for us. This row is a sum of all benefits from each branch. These values determine the type of the element and its quantity. We will connect these elements in parallel to the appropriate branch. It is always possible to replace parallel combination of capacitor and inductor with the one element, inductor or capacitor, according to the final sign of admittance number, because we think the circuit with one voltage frequency and current frequency. Notice that the size of admittance is a function of frequency. Therefore, this replacement is not possible for common circuit with common power supply. For instance, we connect capacitor with the admittance of j(4 +4/[Symetrizace/sqrt(3).png]) S to the branch between nodes 3-1 (capacitor, because the expression is positive). The resulting scheme is:

At line 121 changed 2 lines.

Symetrizace byla provedena. Výsledné zařízení odebírá reálný výkon ze sítě. Z libovolné admitance lze tedy vytvořit symetrickou zátěž.\\

V praxi se ale s explicitním vyjádřením admitance příliš často nesetkáváme. Daleko častější je způsob zadání například:

Symmetrization is done. Only real power is drawn from the electrical distribution system by this symmetrized appliance. Thus, we can create symmetric load from an arbitrary admittance.

However, in practice there is usually no explicit expression of admittance. Often, the way of setting example is as follows:

At line 126 changed 1 line.

Pro získání explicitního vyjádření, na které jsme zvyklí, použijeme následující vzorec, který je ilustrován výpočetem:

We use the following figure to obtain an explicit expression of admittance. For illustration, the calculation is performed here as well.

At line 131 changed 1 line.

Dostali jsme explicitní vyjádření admitance. S těmito hodnotami dále nakládáme, jako v __předchozím příkladě.__\\

We got the explicit expression of admittance. These values are treated as in the __previous example__.\\

At line 133 changed 1 line.

KONEC ZVONEC.

THE END.