V lidské povaze je, že odpočinek po jedné práci nacházíme pouze v druhé práci.
-- France



Hlavní strana
Novinky
Výuka
Projekty
Lidé
Jiné
Kontakt


 

Diskuzní fórum
Pískoviště
Poslední změny
Registrace
Etický kodex
Nápověda
Administrace
Hlášení chyb







  © 1999-2008 HEAT


JSPWiki v2.4.104
Verze k tisku
This is version 3. It is not the current version, and thus it cannot be edited.
[Back to current version]   [Restore this version]
Thought up by: Jan Kyncl
Caught and created by: Jakub Nečesaný

Symmetrization of 1ph and 3ph appliances

5.10.2002

In many industrial applications there are very large electrical devices connected to the electrical distribution system. These devices should be symmetrical, because the power transmission causes the lowest active losses in this case. Hence, we perform so-called symmetrization of power appliances. Our goal is to create a complex that will strain all phases uniformly. Not to increase present real power is obvious demand by symmetrization process. This, as we will see it later, can be done by using a suitable combination of capacitors or inductors that we connect between individual phases of our device. Symmetrization can be applied not only to existing 3ph devices, but also to 1ph devices that must be fed by 3 phases in practice. It is used mainly for feeding power devices of over 500 kW.

First, we start first with real admittance, for example G = 5 S:

From this admittance we make symmetrical 3ph real load this way:

Derivation:

Let we consider connection, labeling and circuit quantity orientation of the circuit elements according to the following scheme:

Let real load is connected between nodes 2 and 3 with conductivity of G (S). We require load to be real and symmetrical after connection of admittances Y12 (S) and Y13 (S) real power (picked by the load) has to stay without any changes is the next demand. We translate these requirements to the mathematical language:

# conservation of the real power: Y12 and Y13 are purely imaginary,
# resulting circuit picks no reactive power: Y12 = -Y13; let lay down Y12 = j.Y, Y13 = -j.Y,
# symmetry of picked currents: I1 = k.U1, I2 = k.U2, I3 = k.U3.

Let we establish labeling of the phases voltage by usual form in the energetics:
U1 = U, U2 = U.a2, U3 = U.a, where Symetrizace/Acko.gif is the operator of rotation in complex plane of Symetrizace/Zlomek.gif anticlockwise. We take advantage by lying down Symetrizace/Ur.gif, although it isn't necessary for the solution. It means only the choice of the beginning of time measuring at passing from phasors to time area. With these conditions holds:

I1 = I12 + I13 = j.Y.(U1 - U2) - j.Y.(U1 - U3) = j.Y.U.(1 - a2) - j.Y.U.(1 - a) = k.U1 = k.U

I2 = I23 - I12 = G.(U2 - U3) - j.Y.(U1 - U2) = G.U.(a2 - a) - j.Y.U.(1 - a) = k.U2 = k.U.a2

I3 = -I23 - I13 = -G.(U2 - U3) - (-j.Y).(U1 - U3) = -G.U.(a2 - a) + j.Y.U.(1 - a) = k.U3 = k.U.a

U, a, G jsou zadané veličiny, Y, k neznámé. Máme tedy 3 rovnice pro 2 neznámé, rovnice jsou ovšem lineárně závislé: součet levých stran je nulový na první pohled a pro součet pravých stran platí:

k.U.(1 + a2 + a) = 0, neboť platí 1 + a2 + a = 0.

Řešení soustavy je ve formě notebooku(info), výsledkem je: k = G a Y = -G /Symetrizace/sqrt(3).png.

Vidíme, že úloha je splněna: proudy jsou G násobkem příslušných fázových napětí, navíc -podle předpokladu- Symetrizace/Ur.gif. Celkový činný výkon je:

P = Re{U.G.U} + Re{a2.U. (a2.U.G)* } = U2

.G.(1 + a2.(a2)* + a.a*) = U2.G.(1 + |a2|2 + |a|2) = U2.G.(1 + |a|4 + |a|2) = U2.G.(1 + 1 + 1) = 3.U2.G

Činný výkon původního zapojení před připojením symetrizačních členů byl: P = G.(Symetrizace/sqrt(3).png.U)2 = 3.U2.G.

Konec odvození.

Stačí tedy zapojit mezi uzly 1-3 ideální kapacitu o velikosti admitance 5 /Symetrizace/sqrt(3).png S (Siemens) a mezi uzly 1-2 ideální indukčnost o velikosti admitance 5 /Symetrizace/sqrt(3).png S, a dostaneme z jednofázového spotřebiče trojfázový symetrický spotřebič.

Nyní se však podívejme na obecnou 3f nesymetrickou zátěž. Zesymetrizujeme ji obdobným postupem jako u jedné reálné admitance (viz výše), a to tak, že postupně budeme aplikovat stejný postup symetrizace pro jednotlivé větve zvlášť. Využijeme skutečnosti, že paralelní spojení trojfázových symetrických reálných zátěží se chová jako symetrická reálná trojfázová zátěž. Navíc označení fází čísly 1,2,3 je libovolné při zachování jejich sledu, můžeme tedy při myšleném přečíslování fází postupovat u každé mezifázové zátěže obdobně, jak je uvedeno výše. Vše si nejlépe vysvětlíme na příkladu. Máme takový případ:

Nejprve dosáhneme reálné zátěže mezi jednotlivými uzly, t.j. mezi uzly 1 a 2 připojíme admitanci 4j S, mezi uzly 2 a 3 admitanci -2j S a mezi uzly 3 a 1 admitanci -6j S. Vše přehledně zapíšeme do tabulky.

větev 1-2 větev 2-3 větev 3-1  
4j -2j -6j vykompenzováno

Nyní je obvod vykompenzován, ale ještě ne zesymetrizován:

Postupme dále. Tento vykompenzovaný obvod považujeme za paralelní spojení třech jednoduchých jednofázových spotřebičů (jsou ale pokaždé mezi dvěma různými uzly),

a s těmito oddělenými jednoduchými admitancemi provedeme symetrizaci, jako na začátku, každou admitanci zesymetrizujeme zvlášť. Pokud provádíme symetrizaci spotřebiče mezi uzly 1-2, pak mezi uzly 2-3 bude kapacita o velikosti admitance 3 /Symetrizace/sqrt(3).png a mezi uzly 3-1 bude indukčnost o velikosti admitance 3 /Symetrizace/sqrt(3).png. Pro symetrizaci spotřebiče, který je zapojen mezi uzly 3-1, platí analogický postup. Zkráceně řečeno, schema natáčíme vždy tak, aby se admitance G kryla s požadovanou admitancí z paralelní kombinace, kterou právě symetrizujeme, a zbývající větve dopočítáme podle schematu. Natočení totiž nemění sled fází. Pokračujeme dále v tabulce:

větev 1-2 větev 2-3 větev 3-1  
4j -2j -6j vykompenzováno
-1j/Symetrizace/sqrt(3).png 1j/Symetrizace/sqrt(3).png příspěvky větví ze schematu
3j/Symetrizace/sqrt(3).png -3j/Symetrizace/sqrt(3).pngpříspěvky větví ze schematu
5j / -5j/Symetrizace/sqrt(3).png příspěvky větví ze schematu
---- ---- ---- ----
j (4 +4/Symetrizace/sqrt(3).png) j (-2 -2/Symetrizace/sqrt(3).png) j (-6 +2/Symetrizace/sqrt(3).png) suma sloupců

V tabulce je důležitý poslední řádek, který je součtem všech příspěvků v dané větvi. Tyto hodnoty nám určují typ prvku a jeho velikost, který připojíme paralelně k odpovídající větvi. Jelikož uvažujeme obvod s jednou frekvencí napětí a proudů, je možno vždy nahradit paralelní kombinaci indukčnosti a kapacity jedním prvkem, indukčností či kapacitou podle výsledného znaménka admitance. Upozorněme, že velikosti admitancí jsou funkcemi frekvence, pro obecný obvod s obecným napájením tato náhrada možná není. Například k větvi mezi uzly 3-1 připojíme kondenzátor o velikosti admitance j(4 +4/Symetrizace/sqrt(3).png) S (kondenzátor, protože výraz je kladný). Výsledkem je tedy schema:

Symetrizace byla provedena. Výsledné zařízení odebírá reálný výkon ze sítě. Z libovolné admitance lze tedy vytvořit symetrickou zátěž.
V praxi se ale s explicitním vyjádřením admitance příliš často nesetkáváme. Daleko častější je způsob zadání například:

Pro získání explicitního vyjádření, na které jsme zvyklí, použijeme následující vzorec, který je ilustrován výpočetem:

Dostali jsme explicitní vyjádření admitance. S těmito hodnotami dále nakládáme, jako v předchozím příkladě.

KONEC ZVONEC.

Více informací... Přihlášení
This particular version was published on 16:41 23.09.2005 by jirka.