Mathematica® v el.tep. technice ... díl 1.

Řešení ustálených 1D tepelných polí.

Základem je Fourier Kirchhoffova rovnice

     
     

Pro stacionární případy obdržíme v 1D rovnici pro l závislé na teplotě a souřadnici.

     
     

Ukážeme si nějaké základní případy. Začněme nejjednodušším: stěna tloušťky d má tepelnou vodivost l=konst , v x=0 má teplotu T0 a teče jí tepelný tok q [W/(m^2 K)]. Ve stěně teplo nevzniká. Naše rovnice má tvar

     
     

Cauchyho úloha má v tomto případě fyzikální smysl následující:

     
     
     

Řešení obdržíme snadno a rychle:

     
     

A vidíme lineární závislost teploty na souřadnici. Například pro cihlovou zeď ....

     
     

Schválně jsme napsali "Cauchyho úloha" a nikoli "okrajová podmínka". F.-K. rovnice je parciální diferenciální rovnice, okrajová podmínka znamená znalost řešení na hranici nějaké oblasti, při redukci na 1D problém je touto oblastí intarval a jeho hranicí dva jeho krajní body. Ovšem pro obyčejné diferenciální rovnice je třeba znát v jednom bodě hodnotu řešení a jeho derivaci a nikoli hodnotu řešení ve dvou různých bodech. V některých případech to nevadí:

     
     

ndy to vadit bude. Každopádně jde o zajímavý vztah mezi PDR a ODR. Pojďme dále; často se uvádí rovnice uvažující přecházení tepla např. z vodiče do okolí konvekcí; pro plošnou hustotu výkonu platí q=a*(T[x]-Tokoli), dále se uvažuje

q*obvod*dx=Qv*průřez*dx; odtud snadno Qv=     ; označme obvod=o, průřez=S

     
     
     
     
     

Na první pohled možná vypadá tento průběh podivně, ale když se nad tím zamyslíte, jak prostupuje teplo vedením třeba drátem a konvekcí do okolí /význam použitých symbolů je doufám jasný/, vidíme, že je to správně. Postupujme dále a vyšetřeme případy s proměnnými látkovými vlastnostmi, zde především tepelnou vodivostí. Styk dvou látek můžeme simulovat rychle probíhajícím spojitým přechodem.

     
     
     

     
     
     
     
     

Řešení bylo provedeno numericky, jednoduše proto, že výhody analytických řešení již výhodami nejsou-pokud nalezneme řešení v uzavřeném tvaru, je tak komplikované, že z něj "nic nevidíme." Všimněte si také, že jsme opět řešili Cauchyho úlohu a nikoli úlohu okrajovou. Numerické metody řešení okrajových úloh jsou mnohem méně propracované než pro řešení Cauchyho úlohy. Zde se zmíním jen o tzv. metodě střelby.

     
     

V podstatě řešíme Cauchyho úlohy pro soubor hodnot první derivace na levé hranici; z řešení vybereme to, které má požadovaniou hodnotu na pravé hranici.Při vedení tepla entropie systému stoupá a tento proces je stabilní pro "skoro všechny" materiály. Zobrazení z hodnot derivace (tedy tepelného toku) do teploty na druhé straně zdi je jednoznačné a proto je metoda střelby snadno algoritmizovatelná.

1.etnotebook

Přílohy