Řešení ustálených 1D tepelných polí.

Základem je Fourier Kirchhoffova rovnice

Pro stacionární případy obdržíme v 1D rovnici pro l závislé na teplotě a souřadnici.

Ukážeme si nějaké základní případy. Začněme nejjednodušším: stěna tloušťky d má tepelnou vodivost l=konst , v x=0 má teplotu T0 a teče jí tepelný tok q [W/(m^2 K)]. Ve stěně teplo nevzniká. Naše rovnice má tvar

Cauchyho úloha má v tomto případě fyzikální smysl následující:

Řešení obdržíme snadno a rychle:

A vidíme lineární závislost teploty na souřadnici. Například pro cihlovou zeď ....

Schválně jsme napsali "Cauchyho úloha" a nikoli "okrajová podmínka". F.-K. rovnice je parciální diferenciální rovnice, okrajová podmínka znamená znalost řešení na hranici nějaké oblasti, při redukci na 1D problém je touto oblastí intarval a jeho hranicí dva jeho krajní body. Ovšem pro obyčejné diferenciální rovnice je třeba znát v jednom bodě hodnotu řešení a jeho derivaci a nikoli hodnotu řešení ve dvou různých bodech. V některých případech to nevadí:

ndy to vadit bude. Každopádně jde o zajímavý vztah mezi PDR a ODR. Pojďme dále; často se uvádí rovnice uvažující přecházení tepla např. z vodiče do okolí konvekcí; pro plošnou hustotu výkonu platí q=a*(T[x]-Tokoli), dále se uvažuje

q*obvod*dx=Qv*průřez*dx; odtud snadno Qv=     ; označme obvod=o, průřez=S

Na první pohled možná vypadá tento průběh podivně, ale když se nad tím zamyslíte, jak prostupuje teplo vedením třeba drátem a konvekcí do okolí /význam použitých symbolů je doufám jasný/, vidíme, že je to správně. Postupujme dále a vyšetřeme případy s proměnnými látkovými vlastnostmi, zde především tepelnou vodivostí. Styk dvou látek můžeme simulovat rychle probíhajícím spojitým přechodem.

Řešení bylo provedeno numericky, jednoduše proto, že výhody analytických řešení již výhodami nejsou-pokud nalezneme řešení v uzavřeném tvaru, je tak komplikované, že z něj "nic nevidíme." Všimněte si také, že jsme opět řešili Cauchyho úlohu a nikoli úlohu okrajovou. Numerické metody řešení okrajových úloh jsou mnohem méně propracované než pro řešení Cauchyho úlohy. Zde se zmíním jen o tzv. metodě střelby.

V podstatě řešíme Cauchyho úlohy pro soubor hodnot první derivace na levé hranici; z řešení vybereme to, které má požadovaniou hodnotu na pravé hranici.Při vedení tepla entropie systému stoupá a tento proces je stabilní pro "skoro všechny" materiály. Zobrazení z hodnot derivace (tedy tepelného toku) do teploty na druhé straně zdi je jednoznačné a proto je metoda střelby snadno algoritmizovatelná.

1.etnotebook

Přílohy

image15.gif		1186 bytes
index_gr_1.gif		1039 bytes
index_gr_10.gif		169 bytes
index_gr_11.gif		661 bytes
index_gr_12.gif		277 bytes
index_gr_13.gif		676 bytes
index_gr_14.gif		1013 bytes
index_gr_16.gif		662 bytes
index_gr_17.gif		427 bytes
index_gr_19.gif		2173 bytes
index_gr_2.gif		682 bytes
index_gr_20.gif		2307 bytes
index_gr_21.gif		1392 bytes
index_gr_22.gif		1007 bytes
index_gr_23.gif		166 bytes
index_gr_24.gif		2046 bytes
index_gr_25.gif		1322 bytes
index_gr_26.gif		166 bytes
index_gr_27.gif		351 bytes
index_gr_28.gif		887 bytes
index_gr_29.gif		1443 bytes
index_gr_3.gif		786 bytes
index_gr_30.gif		1025 bytes
index_gr_31.gif		166 bytes
index_gr_32.gif		2242 bytes
index_gr_33.gif		3402 bytes
index_gr_4.gif		855 bytes
index_gr_6.gif		309 bytes
index_gr_7.gif		149 bytes
index_gr_8.gif		849 bytes
index_gr_9.gif		157 bytes
prvniet.nb		136868 bytes